Ensembles finis Exemples

$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} - 6 x + 8 y = - 15$

Étape 1

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 15 = 0$

Étape 2

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Étape 2.2.3

Multipliez $8$ par $2$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 16 y + 2 \cdot 15 = 0$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $15$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 16 y + 30 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 16$ et $c = x^{2} - 12 x + 30$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 12 x + 30))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 12 x + 30)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot (x^{2} - 12 x + 30)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} - 8 (- 12 x) - 8 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $- 12$ par $- 8$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} + 96 x - 8 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- 8$ par $30$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} + 96 x - 240}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $240$ de $256$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 8 x^{2} + 96 x + 16}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x^{2} + 96 x + 16$ .

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 96 x + 16}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez $8$ à partir de $96 x$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 8 (12 x) + 16}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6.3

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 8 (12 x) + 8 (2)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6.4

Factorisez $8$ à partir de $8 (- x^{2}) + 8 (12 x)$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2} + 12 x) + 8 (2)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6.5

Factorisez $8$ à partir de $8 (- x^{2} + 12 x) + 8 (2)$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $8 (- x^{2} + 12 x + 2)$ comme $2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))$ .

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (2) (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.7.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{4}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{8 - \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)} + 8}{2}$